Matrices - petit exo :)
Forum Maths en prepa ece
| Forum Maths en prepa ece |
Modification: 5/9/2005
Création: 3/3/2001 |
Pour tous ceux qui s'intéressent aux maths en prépa ece
|
|
Matrices - petit exo :)
Envoi de WBH le 23 Avril 2004 12:08:44:
Salut,
J’ai un petit exo sur les matrices, j’ai réussi à écrire des trucs mais je ne suis pas sûre de ce que j’ai fait. C’est trop lourd … Y a trop de blabla…Bizarre :(
__________
Soient n , p € IN*, et A € Mn,p(K). On note r le rang de A. Montrer que r est exactement le plus grand entier tel qu’il existe une matrice extraite de A, carrée d’ordre k inversible.
___________
Voila ce que j'ai fait :
il faut montrer que :
*il existe une matrice extraite de A carrée d’ordre r et inversible
*Toute matrice extraite de A, carrée d’ordre k et inversible est telle que k=
* Je commence par la 2e :
Si l’on prend k € IN et une B matrice d’ordre k inversible extraite de A,
Alors :
B est de rang k (car inversible d’ordre k)
B est de rang =< r car B est extraite de A.
D’où, k=
* Pour la 1e :
Si l’on note L1, … Ln, les lignes de A. (C1,…Cp les colonnes). Parmi ces lignes, r forment une famille libre de K^p. On les note L’1,…L’r. On raye les autres. On obtient une matrice qu’on note A’.
On fait ici une lecture en colonnes : On note les colonnes obtenues maintenant C’1,…C’p.
(Chaque colonne a r éléments.)
Avant d’enlever les lignes, on avait r colonnes qui formaient un truc libre, puis d’autres, des C’’, qui s’écrivent comme combinaison linéaire des r colonnes. Après avoir enlevé des lignes, les C’’ (auxquelles on a enlevé des trucs) sont tjrs des combinaisons linéaires des premières. On peut donc les enlever sans changer le rang. On a donc une matrice A’’ d’ordre r du même rang que A’.
Or rg(A’)=r
Donc le rang de la matrice d’ordre r finalement obtenue est r.
Cette matrice est donc inversible.
C'est juste? Y a plus simple?
Réponses:
Répondre