Inégalités -EC
Envoi de smart le 31 Octobre 2003 14:46:30:
Bonjour, cet exo me pose beaucoup de problèmes. Il y a quelques questions que je n'arrive pas à faire... J'ai réussi à faire la a), la b) mais pour la c, je ne vois pas comment démarrer .
Pouvez-vous m'aider s'il-vous-plaît? Merci beaucoup
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On considère les fonctions réelles:
g:t --> t + sin (t)
f:t--> 1/(g(t)) = 1/(t+sin(t))
h: x --> Intégrale de x à 2x de f(t) dt.
On note I = [0,pi/2] et J = ]0;+ infini[.
On rappelle que pour tout x de R, sin(2x) = 2sin(x) cos (x) et on pourra utiliser sans démonstration le résultat suivant: pour tout x de I, (2x/pi) < ou = sin(x) < ou= x
Pour tout t de I, t différent de 0, d(t) = f(t) -1/(2t)
Pour tout n de N*, d indice (n) = ln (2) - h(n pi)
On note encore pour tout k de N*,
a indice k = Intégrale de k pi à (k+1)pi de ( (sin (t))/ (t(t+sin(t))) dt )
ainsi que
U indice k = Intégrale de k pi à (k+1)pi de |sin (t)| dt.
a) Montrer que pour tout n de N*, on a
d indice n = Intégrale de n pi à 2nPi de ( (sin (t))/ (t(t+sin(t))) dt )
b) Soit k de N*. En distinguant selon que k est pair ou impair, donne le signe de a indice k et montrer que |a indice k| = Intégrale de kPi à (K+1)Pi de ( ( |sin (t)| )/ (t(t+sin(t))) dt )
c) En déduire que pour tout élément k de N*:
(U indice k)/( ((k+1)pi) g ( (k+1) pi)) < ou = |a indice k| < ou = (U indice k)/ ((k pi) g ( k pi))
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